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高等數(shù)學(xué)證明題例題篇一
∵【從題目已知條件找】(已知)∴【從上一步推結(jié)論】(定理)??(寫上你所找的已知條件然后推出結(jié)論進(jìn)行證明,最好“∴”后面都標(biāo)上所根據(jù)的定理)∴【最終所證明的】
就是不知道怎么區(qū)分這兩種證明格式: 1 當(dāng) 時(shí),滿足。并證明
回答時(shí)好像要把該滿足的內(nèi)容當(dāng)做條件證明 2 試探究。。。。同上
怎么回答時(shí)就要自己在草稿本上算出當(dāng) 時(shí),然后把它作為條件 得到滿足 的結(jié)論 2 1 當(dāng) xx 時(shí),滿足。是以xx為條件,做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。為條件,做出答案 3 把已知的作為條件 因?yàn)?已知的內(nèi)容)因?yàn)闂l件得出的結(jié)論 所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)順順順 最后就會(huì)得出 題目所要求的 東西了 謝謝 數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng) 盡管問我吧 謝謝..............4 格式就按照你的想法寫就行。要說的是,不少證明題是可以“騙分”的。假如有一道題是要求證某三角形的形狀,你知道是等邊三角形,到不會(huì)算,那你就可以利用等邊三角形的特性,隨便寫。多多益善,只要不是錯(cuò)的。老師改卷時(shí)一般先看結(jié)果,結(jié)果對(duì)的話,只要過程沒有很明顯毛病就會(huì)得到大部分分?jǐn)?shù)。就是是被看出是錯(cuò)的,因?yàn)槟銓懙奶匦詻]錯(cuò)。老師也不會(huì)給你零分。
試論推理格式與數(shù)學(xué)證明方法孫宗明摘要本文以命題真值代數(shù)的基本知識(shí)為依據(jù),闡述五種主要的數(shù)學(xué)證明方法:演繹法、完全歸納法、反證法、半反證法、數(shù)學(xué)歸納法。關(guān)鍵詞推理,推理格式,數(shù)學(xué)證明本文假定熟知命題真值代數(shù)的基本知識(shí).本文所使用的符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的,見【川.1 1 當(dāng) xx 時(shí),滿足。是以xx為條件,做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。為條件,做出答案 3 把已知的作為條件 因?yàn)?已知的內(nèi)容)因?yàn)闂l件得出的結(jié)論 所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)順順順 最后就會(huì)得出 題目所要求的 東西了 謝謝 數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng) 1 當(dāng) xx 時(shí),滿足。是以xx為條件,做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。
高等數(shù)學(xué)證明題例題篇二
正文: 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一,也是解題的一種十分重要的思想方法。在中學(xué)證明不等式一般有比較法,綜合法,分析法,反證法,判別法,放縮法,數(shù)學(xué)歸納法,利用二項(xiàng)式定理和變量代換法等等,其中包含了很多的技巧,從而證明的難度也比較大,下面就利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行不等式的證明,從中也可看出不等式的證明具有很大的靈活性。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式,首先引入下面的定理: 定理1:設(shè)有兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)有f'(x)>g'(x)(或 f'(x)
另外,也可以將不等式轉(zhuǎn)化成:ex-x-1>0,證明方法同上(略)。如果不等式中的次數(shù)較高,形式也比較復(fù)雜,這可能需要多次轉(zhuǎn)化,才能達(dá)到目標(biāo),通過下面的例子不難看出這一點(diǎn)。
例2:設(shè)a>ln2-1為任一常數(shù),求證:當(dāng)x>0時(shí),有x2-2ax+1
b?a例3:證明:| sinb-sina | ≤| b-a | 分析:我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我們可以假設(shè)其中一個(gè)為較大者,則a,b可組成一個(gè)區(qū)間。再分析sinx函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)可知符合拉格朗日中值定理的條件,從而可以得以證明。證明:若a=b,則等號(hào)成立。
若a≠b,不妨設(shè)a<b.設(shè)f(x)=sinx 則f '(x)=cosx 則拉格朗日中值定理知,存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)使得: f '(ξ)= cosξ= 又因?yàn)椋簗cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 從上面的定理和證明中,我們不難發(fā)現(xiàn)在遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式證明時(shí),可用此定理,使得證明得以簡(jiǎn)化,其中我們應(yīng)靈活地利用拉格朗日中值定理的各種變形進(jìn)行不等式的證明。利用定積分的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行不等式的證明
在不等式的證明中,我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn),有些不等式是求和的形式,這里我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關(guān)的性質(zhì)使問題得以解決,下面的分析不難發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。例4:對(duì)任意正整數(shù)n>1 3n?1123n<()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn123n分析:不等式中()n +()n +()n +…… +()n 的形式比較復(fù)雜,nnnnsinb?sina
b?a求證:但從中可看出它是一些有相同特性的分式的和。設(shè)f(x)=xn(其中x= ,,……,)可看出:x∈(0,1)則不等式的和為?0xndx,從下圖可看出: 根據(jù)函數(shù)的凸凹性和定積分的定義可證此題。11n2n3nnn證明:設(shè)f(x)=xn , x∈(0,1)因?yàn)閚≥2,可知f(x)為單調(diào)遞增的 凹函數(shù),(如上圖所示)則有:
1n?1n1)]< ?0xndx= nn?1123n?1n1所以:()n +()n +()n +…… +()<
nnnnn?1123n1所以:()n +()n +()n +…… +()n < +1< 2 nnnnn?11011n?1nn?1nn又因?yàn)椋?[()n +()n +()n +……+()+()+()n ] > 2nnnnnn= [()n +()n +()n +…… +(1n2n3nn?0xndx
n?1nn1nn)+()n-()n > nn2nn?1n1123n所以:+<()n +()n +()n +…… +()n
n?12nnnn3n?1123n即: <()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn1所以[()n +()n +()n +…… +(1n2n3n在上面的證明中,我們利用了定積分的定義以及函數(shù)的的一些性質(zhì)。上面的幾個(gè)例子中都利用了函數(shù),由此可見函數(shù)在不等式的證明中起著非常關(guān)鍵的作用,函數(shù)的構(gòu)造和對(duì)函數(shù)的分析,其中函數(shù)單調(diào)性的判斷利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的知識(shí)使問題簡(jiǎn)化,其次本文利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理進(jìn)行不等式的證明,使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式證明得以簡(jiǎn)化,再次通過定積分的定義進(jìn)行不等式的證明,以上的問題表明高等數(shù)學(xué)在不等式的證明方面存在著很大的優(yōu)勢(shì),我們還需進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究。參考文獻(xiàn):
[1]《高初數(shù)學(xué)結(jié)合講義 》 首都師范大學(xué)張海山教師 [2]《數(shù)學(xué)分析講義》 高等教育出版社
高等數(shù)學(xué)證明題例題篇三
1.證明:函數(shù)f(x)?(x?2)(x?3)(x?4)在區(qū)間(2,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?,使f??(?)?0。
證明:f(x)在[2,3]上連續(xù),在(2,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(2)?f(3)?0,由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)?1?(2,3),使f?(?1)?0,同理,至少存在一點(diǎn)?2?(3,4),使得f?(?2)?0;f?(x)在[?1,?2]上連續(xù),在(?1,?2)內(nèi)可導(dǎo),再一次運(yùn)用羅爾定理,至少存在一點(diǎn)??(?1,?2)?(2,4),使得f??(?)?0。
2.設(shè)f為[a,b]上的二階可導(dǎo)函數(shù),f(a)?f(b)?0, 并存在一點(diǎn)c?(a,b),使得f(c)?0.證明至少存在一點(diǎn)??(a,b),使得
證明:考慮區(qū)間[a,c],則f''(?)?0.(10分)f在[a,c]滿足lagrange中值定理的條件,則存在?1?(a,c),使得f'(?1)?f(c)?f(a)?0.(3分)c?a
f'(?2)?f(b)?f(c)?0.(5分)b?c
lagrange中值定理的條件,則存在同理可證存在?2?(c,b), 使得再考慮區(qū)間[?1,?2], 由條件可知導(dǎo)函數(shù)f'(x)在[?1,?2]上滿足
??(?1,?2),使得f''(?)?f(?2)?f(?1)?0.得證.?2??1
3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且
證明在[a,b]內(nèi)有f?(x)
證明在[a,b]內(nèi)有f?(x)f?(x)?0f(x)?1xf(t)dt x?a?a?0 ?0
f?(x)?x1[(x?a)f(x)?f(t)dt](2分)2?a(x?a)
=1[(x?a)f(x)?(x?a)f(?)](??[a,x]?[a,b])(2分)(x?a)2
x??f?(?)(??(?,x)?[a,b])x?a=
?f?(x)?0(2分)
1?x)?arctanx 4.證明:當(dāng)x?0時(shí),(1?x)ln(令
f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx ?0時(shí),f?(x)?ln(1?x)?1?
當(dāng)x所以
?0 2
1?x
f(x)在(0,??)上單調(diào)增(3分)又f(0)?0(?f(x)?0即當(dāng)x?0時(shí),(1?x)ln(1?x)?arctanx(3分)
5.證明:當(dāng)x?
1時(shí),?3?
1。
x
答案:證:令f(x)??3?
??1?
?,則 x?
f(x)?
'
?2?2(1),xx
因?yàn)閒(x)在?1,???連續(xù),并且在?1,???內(nèi)f'(x)?0,因此f(x)在?1,???上單調(diào)增加,從而當(dāng)x?1時(shí),f(x)?f(1)?0。這就得到
?3?
(x?1)。x
x2,x?0.(8分)6.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式:ln(1?x)?x?2
證明: 令
x2
f(x)?ln(1?x)?x?,(2分)
x2
f(0)?0,f'(x)??0, x?0.所以
1?x
則
f(x)在[0,+?)上連續(xù),在(0,+?)上可導(dǎo),且
f(x)在[0,+?)嚴(yán)格單調(diào)遞增,故f(x)?f(0)?0, x?0.(7分).即
x2
ln(1?x)?x?,x?0.(8分)
7.證明:設(shè)a0?
na1a2a
????n?0,證明函數(shù)f(x)=a0?a1x???anx在(0,1)內(nèi)至23n?1
少有一個(gè)零點(diǎn)。(6分)證明:法一利用定積分:假設(shè)函數(shù)f(x)=a0
?a1x???anxn在(0,1)上沒有零點(diǎn)
則因f(x)在[0,1]上連續(xù),姑f(x)恒為正或負(fù)————(1分)從而由定積分性質(zhì)得:
?
f(x)dx?[a0x?
1a12a23a
x?x???nxn?1]
023n?1
=a0
?
a1a2a
????n 23n?1————(4分)
為正或?yàn)樨?fù),這與假設(shè)矛盾。
所以函數(shù)f(x)在(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn)。#——(1分)法二利用羅爾定理
設(shè)
=a0
f(x)=
a0x?
a12a23a
x?x???nxn?123n?1,則
f'(x)?
f(x)
?a1x???anxn——(2分)
顯然f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=f(1)=0故由羅爾定理知,在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?,使f'(?)即
?0———(3分)
f(?)?0。因此,函數(shù)f(x)在(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn)。#———(1分)
8.證明:已知?(x)?af
證明:??(x)=af
(x),且
f?(x)?
1,證明??(x)?2?(x)f(x)lna
(x)
lna?2f(x)f?(x)----------------------4分
=2?(x)lna?f(x)
1----------------------3分 f(x)lna
=2?(x)---------------------------3分
9.若f(x)?a1sinx?
aa2
sin2x???nsinnx,求證:存在c?(0,?),使得 2n
a1cosc?a2cos2c???ancosnc?0
證:因?yàn)?/p>
f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且
f'(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx(2分), f(0)?0?f(?)(3分)所以,由rolle
中值定理得到: f
‘
(x)在(a,b)
內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)(4分),即至少存在一點(diǎn)c
?(0,?), 使得
a1cocs?a2co2sc???anconcs?0
10.證明:|sinx?siny|?|x?y|
證:由微分中值定理得到:sinx?sin
y?(x?y)cos?,?在x與y之間(3分)
所以|sinx?siny|?|x?y||cos?|(5分)?|x?y|(6分)
x
x
11.設(shè)函數(shù)
f(x)在[a,b]上是連續(xù)函數(shù), 且f(x)?0,令f(x)??f(t)dt??
a
b
'
1.f(t)
求證:(1)f(2)f(x)在(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(x)?2;
證:由微積分學(xué)基本定理得到:
f'(x)?f(x)?
f(x)
(1分)
?2
(2分)。因?yàn)椋琣
f(a)??
b
a
11=???0;f(b)??f(t)dt?0(3分)則由根的存在性定理得到: f(t)f(t)ab
b
f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)(4分),由(1)知f(x)在[a,b]上是單調(diào)上升,所以f(x)在(a,b)
內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(5分)
12.設(shè)
f(x)在[0,1]上可導(dǎo),且f(1)?2?xf(x)dx
。試證明在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)?,使
f(?)??f?(?)?0。
證明:設(shè)
g(x)?xf(x)
12,則
g(x)
在[0,1]上可導(dǎo),又由積分中值定理
g(1)=f(1)?2?xf(x)dx=?f(?)g(?)(?在(0,12)內(nèi),從而由羅爾定理在(0,?)內(nèi)有?使
f(?)??f?(?)?0證畢。
13.
高等數(shù)學(xué)證明題例題篇四
證明題格式
把已知的作為條件因?yàn)?已知的內(nèi)容)
因?yàn)闂l件得出的結(jié)論所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)
順順順最后就會(huì)得出題目所要求的東西了謝謝數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng)
1當(dāng)xx時(shí),滿足。是以xx為條件,做出答案。
2試探究。。。。是以。。。。。為條件,做出答案
【需要證的】
∵【從題目已知條件找】(已知)
∴【從上一步推結(jié)論】(定理)
……(寫上你所找的已知條件然后推出結(jié)論進(jìn)行證明,最好“∴”后面都標(biāo)上所根據(jù)的定理)
∴【最終所證明的】
就是不知道怎么區(qū)分這兩種證明格式:
1當(dāng)時(shí),滿足。并證明
回答時(shí)好像要把該滿足的內(nèi)容當(dāng)做條件證明
2試探究。。。。同上
怎么回答時(shí)就要自己在草稿本上算出當(dāng)時(shí),然后把它作為條件得到滿足的結(jié)論
21當(dāng)xx時(shí),滿足。是以xx為條件,做出答案。
2試探究。。。。是以。。。。。為條件,做出答案
3把已知的作為條件因?yàn)?已知的內(nèi)容)
因?yàn)闂l件得出的結(jié)論所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)
順順順最后就會(huì)得出題目所要求的東西了謝謝數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng)盡管問我吧謝謝..............4格式就按照你的想法寫就行。要說的是,不少證明題是可以“騙分”的。假如有一道題是要求證某三角形的形狀,你知道是等邊三角形,到不會(huì)算,那你就可以利用等邊三角形的特性,隨便寫。多多益善,只要不是錯(cuò)的。老師改卷時(shí)一般先看結(jié)果,結(jié)果對(duì)的話,只要過程沒有很明顯毛病就會(huì)得到大部分分?jǐn)?shù)。就是是被看出是錯(cuò)的,因?yàn)槟銓懙奶匦詻]錯(cuò)。老師也不會(huì)給你零分。
試論推理格式與數(shù)學(xué)證明方法孫宗明摘要本文以命題真值代數(shù)的基本知識(shí)為依據(jù),闡述五種主要的數(shù)學(xué)證明方法:演繹法、完全歸納法、反證法、半反證法、數(shù)學(xué)歸納法。關(guān)鍵詞推理,推理格式,數(shù)學(xué)證明本文假定熟知命題真值代數(shù)的基本知識(shí).本文所使用的符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的,見【川.1
1當(dāng)xx時(shí),滿足。是以xx為條件,做出答案。
2試探究。。。。是以。。。。。為條件,做出答案
把已知的作為條件因?yàn)?已知的內(nèi)容)
因?yàn)闂l件得出的結(jié)論所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)
順順順最后就會(huì)得出題目所要求的東西了謝謝數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng)
1當(dāng)xx時(shí),滿足。是以xx為條件,做出答案。
2試探究。。。。是以。。。。。為條件,做出答案
把已知的作為條件因?yàn)?已知的內(nèi)容)
因?yàn)闂l件得出的結(jié)論所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)
順順順最后就會(huì)得出題目所要求的東西了謝謝數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng)盡管問我吧謝謝..............
高等數(shù)學(xué)證明題例題篇五
一.解答題(共10小題)1.已知:如圖,∠a=∠f,∠c=∠d.求證:bd∥ce.
2.如圖,已知∠1+∠c=180°,∠b=∠c,試說明:ad∥bc.
3.已知:如圖,若∠b=35°,∠cdf=145°,問ab與ce是否平
行,請(qǐng)說明理由.
分值:顯示解析
4.如圖,已知cd⊥da,da⊥ab,∠1=∠2.試說明df∥ae.請(qǐng)
你完成下列填空,把解答過程補(bǔ)充完整.
解:∵cd⊥da,da⊥ab,∴∠cda=90°,∠dab=90°.()
∴∠cda=∠dab.(等量代換)
又∠1=∠2,從而∠cda-∠1=∠dab-
.(等式的性質(zhì))
即∠3=
.
∴df∥ae.(7.如圖,∠b=55°,∠eac=110°,ad平分∠eac,ad與bc平行嗎?
為什么?根據(jù)下面的解答過程,在括號(hào)內(nèi)填空或填寫理由.
解:∵ad平分∠eac,∠eac=110°(已知)
∴∠ead=
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